Cvičenia z matematiky 2 (10. cvičenie)

10. CVIČENIE: Trojné integrály a ich aplikácie

10.1 Úvodné pojmy
Trojný integrál je istou analógiou dvojného integrálu. Rozdiel medzi nimi je iba v tom, že kým dvojný integrál sa vzťahoval na funkciu f (x, y ), trojný integrál sa týka funkcie f (x, y, z ), teda troch premenných. Ďalej, kým dvojným integrálom sme integrovali cez dvojrozmernú oblasť D, zatiaľ trojný integrál má trojrozmernú oblasť T.
Oblasť T je konvexná množina bodov v rovine, ktorá je súvislá a uzavretá. Množina je súvislá vtedy, ak každé jej dva body možno spojiť lomenou čiarou, ktorá celá patrí do množiny. Množina je uzavretá, ak obsahuje aj všetky svoje hraničné body.
Konvexnosť – znamená, že množina bodov je konvexná, ak každá úsečka, ktorej koncové body ležia v množine, leží v množine celá.
Analytický popis oblasti popisuje istú oblasť v pravouhlom trojrozmernom súradnicovom systéme. Oblasť môže byť konvexná vzhľadom na premennú x, konvexná vzhľadom na premennú y, tiež môže byť nekonvexná ( vzhľadom na x, y, aj z ).
Trojný integrál – Nech f (x, y, z ) je funkcia troch premenných v nejakej oblasti T. Ak danú oblasť rozdelíme na dielčie oblasti T1 , T2, …… Tn, potom limitu súčtu priestorových objemov ∆ Vi (n→∞) nazývame trojným integrálom funkcie f (x, y, z ) v oblasti T.