Cvičenia z matematiky 2 (3. cvičenie)

3. CVIČENIE: EXTRÉMY FUNKCIÍ VIAC PREMENNÝCH

3.1 Lokálne extrémy funkcií viac premenných

Za lokálne extrémy považujeme: lokálne maximum, ostré lokálne maximum, lokálne minimum, ostré lokálne minimum funkcie f.
Funkcia f má v bode A lokálny extrém, ak všetky jej parciálne derivácie 1. rádu sa rovnajú 0, alebo ak neexistujú.
Stacionárny bod funkcie môže mať, ale nemusí mať extrém.
Funkcia f môže mať lokálny extrém aj takom bode, v ktorom nie je diferencovateľná.
Postup pri vyšetrovaní lokálnych extrémoch:
1. Zistime prvé derivácie funkcie podľa všetkých premenných v bode :
Napr. pre funkciu z =f ( x, y ) nájdeme stacionárne body f ´x = 0, f ´y = 0
2. Ak v stacionárnom bode A je kvadratická forma > 0, potom existuje extrém.
Ak kvadratická forma v bode A je < 0, potom v stacionárnych bodoch nie je extrém.
Ak je kvadratická forma = 0, nedá sa rozhodnúť o extréme.
O tom, aký extrém nastal, v prípade, že nastala 1. možnosť bodu 2, zistíme v bode 3.
3. Ak je druhá derivácia funkcie v bode A kladná, t. j. , nastáva v ňom lokálne minimum.
Ak je druhá derivácia funkcie v bode A záporná, t.j. , nastáva v ňom lokálne maximum.