Matematická analýza - ťahák

1.1.2MetricképriestoryKaždejdvojicix,y množiny reálnych čísel R je priradené reálne číslo d(x,y) := |x - y|, ktoré nazývame vzdialenosť bodu x od bodu y. Pomocou vzdialenosti množina R je vybavená (topologickou) štruktúrou (je definované okolie, otvorená množina-pozri Matematická analýza I), ktora dovol'uje definovať limitu a spojitosť. Takouto štrukturou vsak možno vybaviť l'ubovol'nu neprázdnu množinu, ak pre každú dvojicu jej prvkov (bodov) je definovaná ich vzdialenosť.Pojmom metriky na danej množine chceme vystihnúť čo najvšeobecnejšie vzdialenosť
objektov, ktoré patria do danej množiny.Definícia 1.1 Nech X je neprázdna množína a zobrazenie  : X x X -> R. má tieto vlastnosti: Pre kazdé x, y, z e X piatí 1. (x,y) >= 0 a  (x,y) = 0 práve vtedy, keď x = y, 2. (x,y} = (y, x), 3. (x,z) <= (x,y) + (y,z), Izv. trojuholníková nerovnost. Potom hovoríme, ze. mnozina X je metricky príestor s metrikou . Cislo (x,y) nazyvame vzdialenosfou bodov x a y.Množinu X s metrikou  nazyvame metrickym priestorom a oznacujeme ho (X,Pre l'ubovol'né body u1,u2,...,uk e X, k e N platí zovšeobecnená trojuholníková nerovnosť  (u1,uk) <=  (u1,u2) +(u2,u3) + • •• + p(uk-1,uk). Základným geornetrickým pojmom, na ktorom spočíva tzv. všeobecná topológia ("náuka o polohe a usporiadaní geometrických útvarov v priestore"),je pojem "blízkosti". Vo vačsine prípadov bude staciť pojem blízkosti odvodený z metriky.Kde nemože dojst' k nedorozumeniu, budeme často oznacovať metrický priestor (X,) samotným písmenom X.Može sa stať, že na neprázdnej mnozine X je definovaných viac metrík. Napríklad ak X = R2 1 (x, y) = |x1 -y1| + |x2 +y2| Ak A je neprázdna množ. metrického priestoru (X,) a x,y sú body v priestore (X,), tak hovor., že reál.číslo d(A) = diam(A) = sup {  (x,y) : x,y e A} je priemer. množ. A.
1.1.3 Normovaný lineárny priestor Definícia 1.2 Linearny priestor V nazyvame normovaný, ak na V je defi-novaná norma. t.j. reálna funkcia || • || : u -> ||u|| týchto vlastnosti: (N 1} ||u|| > 0, ak JE u=/= 0; ||u|| = 0 vtedy a len vtedy, ak u je nulový prvok priestoru V.(N 2) ||u = || ||u|| pre u e V a kazdy skalár ,(N 3) ||u + v)|| <= ||u|| + ||v|| pre kazdé u,v eV. Veta 1.1 Funkcia p : V x V -> R defin. vztahom (u,v)=||u-v|| (1.5) je metrikou na V